Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} - 99) e^{x}$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 99$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 99 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$

Étape 3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x} = 0$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 99 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 99) = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 99$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 99$ et dont la somme est $2$ .

$- 9, 11$

Étape 4.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$e^{x} ((x - 9) (x + 11)) = 0$

Étape 4.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 11 = 0$

Étape 4.3

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 4.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 4.4

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 4.5

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$ vraie.

$x = 9, - 11$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ sur $x = 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f (9) = {(9)}^{2} e^{9} - 99 e^{9}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (9) = 81 e^{9} - 99 e^{9}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $99 e^{9}$ de $81 e^{9}$ .

$f (9) = - 18 e^{9}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 18 e^{9}$ .

$- 18 e^{9}$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ sur $x = - 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 11$ dans l’expression.

$f (- 11) = {(- 11)}^{2} e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$f (- 11) = 121 e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 11) = 121 (\frac{1}{e^{11}}) - 99 e^{- 11}$

Étape 6.2.1.3

Associez $121$ et $\frac{1}{e^{11}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 e^{- 11}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 \frac{1}{e^{11}}$

Étape 6.2.1.5

Associez $- 99$ et $\frac{1}{e^{11}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} + \frac{- 99}{e^{11}}$

Étape 6.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - \frac{99}{e^{11}}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 11) = \frac{121 - 99}{e^{11}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $99$ de $121$ .

$f (- 11) = \frac{22}{e^{11}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{22}{e^{11}}$ .

$\frac{22}{e^{11}}$

Étape 7

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ sont $y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$ .

$y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$

Étape 8