Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} + x^{2} y = 6$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x y^{2} + x^{2} y - 6 = 0$

Étape 1.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs $a = x$ , $b = x^{2}$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- x^{2} \pm \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (x \cdot - 6)}}{2 x}$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Étape 1.4.2

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Étape 1.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} + 24 x$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Étape 1.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Étape 1.4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Étape 1.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Étape 1.5.5

Réécrivez $- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ comme $- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Étape 1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Étape 1.6.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Étape 1.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} + 24 x$ .

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Étape 1.6.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Étape 1.6.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Étape 1.6.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.6.2

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Étape 1.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Étape 1.6.6

Réécrivez $- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ comme $- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Étape 1.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 1.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x y^{2} + x^{2} y = 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + x^{2} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 3.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y (2 x)$

Étape 3.2.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + 2 y x$

Étape 3.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = - y^{2}$

Étape 3.5.1.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Étape 3.5.2

Factorisez $x y'$ à partir de $2 x y y' + x^{2} y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' x = - y^{2} - 2 x y$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' (2 y) + x y' x$ .

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ par $x (2 y + x)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ par $x (2 y + x)$ .

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 y + x$ .

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Étape 3.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 y}{2 y + x}$

Étape 3.5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x}$

Étape 3.5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y}{2 y + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 3.5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (2 y + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y}{2 y + x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{(2 y + x) x}$

Étape 3.5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 y + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} - 2 y x$ .

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Étape 3.5.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.3.3.9.1

Réécrivez $- (y + 2 x)$ comme $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Étape 3.5.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y (y + 2 x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $y (y + 2 x) = 0$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $y (y + 2 x) = 0$ par $y$ .

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Étape 4.2.1.2.1.2

Divisez $y + 2 x$ par $1$ .

$y + 2 x = \frac{0}{y}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $y$ .

$y + 2 x = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - y$

Étape 4.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 4.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y}{2}$

Étape 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{y}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.8

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.9

Associez $24$ et $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.11

Multipliez $24$ par $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.12

Associez les exposants.

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Étape 5.2.1.12.1

Multipliez $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ par $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.12.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13

Réécrivez $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ comme ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

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Étape 5.2.1.13.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.7

Réécrivez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.8

Ajoutez des parenthèses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.13.9

Ajoutez des parenthèses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - ({(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.18

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Étape 5.2.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{- 2 y}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Étape 5.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $- y$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.2.5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Étape 5.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Étape 5.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 5.2.7

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Étape 5.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Étape 5.2.9

Multipliez $- - \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

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Étape 5.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Étape 5.2.9.2

Multipliez $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Étape 5.2.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Étape 5.2.11

La réponse finale est $\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{y}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.8

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.9

Associez $24$ et $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.11

Multipliez $24$ par $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.12

Associez les exposants.

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Étape 6.2.1.12.1

Multipliez $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ par $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.12.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13

Réécrivez $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ comme ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

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Étape 6.2.1.13.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.7

Réécrivez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.8

Ajoutez des parenthèses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.13.9

Ajoutez des parenthèses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.18

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Étape 6.2.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{- 2 y}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Étape 6.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Étape 6.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $- y$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Étape 6.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.2.5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Étape 6.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Étape 6.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 6.2.7

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Étape 6.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Étape 6.2.9

Multipliez $- - \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

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Étape 6.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Étape 6.2.9.2

Multipliez $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Étape 6.2.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Étape 6.2.11

La réponse finale est $\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

$y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Étape 8