Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 24$ et $c = 5 x^{2} - 10 x + 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.4

Simplifiez

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $- 10$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.5

Soustrayez $128$ de $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.6

Factorisez $16$ à partir de $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $16$ à partir de $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez $16$ à partir de $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.6.3

Factorisez $16$ à partir de $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.6.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.6.5

Factorisez $16$ à partir de $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.7

Réécrivez $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ comme ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

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Étape 1.3.1.7.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $- 10$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.5

Soustrayez $128$ de $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.6

Factorisez $16$ à partir de $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $16$ à partir de $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez $16$ à partir de $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.6.3

Factorisez $16$ à partir de $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.6.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.6.5

Factorisez $16$ à partir de $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.7

Réécrivez $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ comme ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

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Étape 1.4.1.7.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.4.5

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Étape 1.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Étape 1.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez

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Étape 1.5.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $- 10$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.5

Soustrayez $128$ de $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.6

Factorisez $16$ à partir de $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $16$ à partir de $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez $16$ à partir de $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.6.3

Factorisez $16$ à partir de $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.6.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.6.5

Factorisez $16$ à partir de $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.7

Réécrivez $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ comme ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

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Étape 1.5.1.7.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

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Étape 1.5.5.1

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.5.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Étape 1.5.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Étape 1.5.5.4

Réécrivez $- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ comme $- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Étape 1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$10 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$10 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 x + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$10 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 y]$ .

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Étape 3.2.5.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 y$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + 0$

Étape 3.2.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.1

Additionnez $10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$ et $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$

Étape 3.2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10$

Étape 3.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10 = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$8 y y' + 24 y' - 10 = - 10 x$

Étape 3.5.1.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y y' + 24 y' = - 10 x + 10$

Étape 3.5.2

Factorisez $8 y'$ à partir de $8 y y' + 24 y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $8 y'$ à partir de $8 y y'$ .

$8 y' y + 24 y' = - 10 x + 10$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $8 y'$ à partir de $24 y'$ .

$8 y' y + 8 y' \cdot 3 = - 10 x + 10$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $8 y'$ à partir de $8 y' y + 8 y' \cdot 3$ .

$8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ par $8 (y + 3)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ par $8 (y + 3)$ .

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 3.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $8$ .

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Étape 3.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (y + 3)$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $8$ .

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Étape 3.5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{8 (y + 3)}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (y + 3)$ .

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{2 (4 (y + 3))}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 \cdot 5}{2 (4 (y + 3))}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)} = 0$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{5}{4 (y + 3)}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{5 x}{4 (y + 3)} = - \frac{5}{4 (y + 3)}$

Étape 4.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- 5 x = - 5$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 5$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 5$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 5}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $- 5$ par $- 5$ .

$x = 1$

Étape 5

Solve the function $f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Étape 5.2.1.4

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{5 + 28}}{2}$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $5$ et $28$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Étape 6.2.1.4

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{5 + 28}}{2}$

Étape 6.2.1.5

Additionnez $5$ et $28$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 8