Calcul infinitésimal Exemples

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$27 - x^{3} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $27 - x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{3} = - 27$

Étape 1.2.2

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{3} + 27 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 27$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 27 = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Réécrivez $27$ comme $- 1 (- 27)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ .

$- (x^{3} - 27) = 0$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Étape 1.2.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 1.2.3.4

Factorisez.

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Étape 1.2.3.4.1

Simplifiez

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Étape 1.2.3.4.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Étape 1.2.3.4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Étape 1.2.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.6

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Étape 1.2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $3$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $27$ et $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 27$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $3$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $0$ de $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Étape 4.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Étape 4.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Étape 4.7

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

Étape 4.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.8.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

Étape 4.8.2

Évaluez $27 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3

Simplifiez

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Étape 4.8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.4

Soustrayez $1$ de $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.5

Annulez le facteur commun à $80$ et $4$ .

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Étape 4.8.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.5.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.6

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.7

Multipliez $27$ par $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

Étape 4.8.3.8

Multipliez $- 27$ par $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

Étape 4.8.3.9

Soustrayez $27$ de $81$ .

$- 20 + 54$

Étape 4.8.3.10

Additionnez $- 20$ et $54$ .

$34$

Étape 5