Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 {(2 - 8 x)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 {(2 - 8 x)}^{4}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 - 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - 8 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$7 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 8 x$ .

$7 (4 {(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$28 ({(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Étape 1.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.3.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} (- 8 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6

Multipliez $- 8$ par $28$ .

$- 224 {(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 224 {(2 - 8 x)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 224$ par $1$ .

$f' (x) = - 224 {(2 - 8 x)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- 224$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 224 {(2 - 8 x)}^{3}$ par rapport à $x$ est $- 224 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{3}]$ .

$- 224 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 - 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - 8 x$ .

$- 224 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 224 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 8 x$ .

$- 224 (3 {(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $- 224$ .

$- 672 ({(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Étape 2.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 2.3.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} (- 8 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 8$ par $- 672$ .

$5376 {(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5376 {(2 - 8 x)}^{2} \cdot 1$

Étape 2.3.8

Multipliez $5376$ par $1$ .

$f'' (x) = 5376 {(2 - 8 x)}^{2}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5376 {(2 - 8 x)}^{2}$ .

$5376 {(2 - 8 x)}^{2}$