Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\frac{π x}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{2}$ .

$- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{2})]$ .

$- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{2}$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- \frac{π}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{2}$ .

$- \frac{π}{2} (\cos (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.3.1

Associez $\cos (\frac{π x}{2})$ et $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{π (\cos (\frac{π x}{2}) π)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{π^{1} π \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{π^{1} π^{1} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{π^{1 + 1} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4} \cdot 1$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$