Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{5}$ et $g (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

$5 {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{t^{2}}{2} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Étape 1.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{2}}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])$

Étape 1.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])$

Étape 1.2.6.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $t$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

Étape 1.2.6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

Étape 1.2.6.3.2

Divisez $t$ par $1$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + \frac{d}{d t} [- 3])$

Étape 1.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + 0)$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $t$ et $0$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$

Étape 1.2.8.2

Réorganisez les facteurs de $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$ .

$f' (t) = 5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}] + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{t^{2}}{2} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{2}}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.4.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $t$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.4.3.2

Divisez $t$ par $1$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + 0)) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4.6

Additionnez $t$ et $0$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$5 (t^{1} t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.6

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$5 (t^{1} t^{1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (t^{1 + 1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ par $1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Étape 2.11.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 (t^{2} ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Étape 2.11.3

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ à partir de $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ .

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Étape 2.11.3.1

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ à partir de $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ à partir de $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ à partir de $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Étape 2.11.4

Associez des termes.

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Étape 2.11.4.1

Pour écrire $4 t^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Étape 2.11.4.2

Associez $4 t^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Étape 2.11.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2 + t^{2}}{2} - 3)$

Étape 2.11.4.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{8 t^{2} + t^{2}}{2} - 3)$

Étape 2.11.4.5

Additionnez $8 t^{2}$ et $t^{2}$ .

$f'' (t) = 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ et $g (t) = \frac{9 t^{2}}{2} - 3$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2} - 3] + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{9}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{9 t^{2}}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{9}{2}$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 \cdot 9}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4.3

Associez $\frac{18}{2}$ et $t$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4.4

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 3.3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $18 t$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t}{1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.4.4.2.4

Divisez $9 t$ par $1$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + 0) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $9 t$ et $0$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $9$ à gauche de ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$5 (9 \cdot {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 \cdot (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3])$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{t^{2}}{2} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 3.5.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{2}}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 3.5.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.5.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 3.5.5.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $t$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 3.5.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 3.5.5.3.2

Divisez $t$ par $1$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 3.5.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + 0))$

Étape 3.5.7

Additionnez $t$ et $0$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Étape 3.6.3

Multipliez $9$ par $5$ .

$45 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Étape 3.6.4

Associez $3$ et $\frac{9 t^{2}}{2}$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{3 (9 t^{2})}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Étape 3.6.5

Multipliez $9$ par $3$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Étape 3.6.6

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Étape 3.6.7

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ à partir de $45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ .

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Étape 3.6.7.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.6.7.1.1

Déplacez ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$

Étape 3.6.7.1.2

Déplacez ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.6.7.1.3

Déplacez $\frac{27 t^{2}}{2} - 9$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.6.7.2

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ à partir de $45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.6.7.3

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ à partir de $5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.7.4

Factorisez $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ à partir de $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.8

Associez des termes.

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Étape 3.6.8.1

Pour écrire $9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot \frac{2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.8.2

Associez $9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2 + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.8.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.9

Réorganisez les facteurs de $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$ .

$5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.10

Réécrivez ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ comme $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ .

$5 t ((\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.11

Développez $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} (\frac{t^{2}}{2} - 3) - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.12.1.1

Associez.

$5 t (\frac{t^{2} t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.12.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 t (\frac{t^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.4

Associez $\frac{t^{2}}{2}$ et $- 3$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2} \cdot - 3}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $t^{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{- 3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.7

Associez $- 3$ et $\frac{t^{2}}{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} + \frac{- 3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.1.9

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.12.2

Soustrayez $\frac{3 t^{2}}{2}$ de $- \frac{3 t^{2}}{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.13.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.13.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 (- 1) \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.13.1.2

Annulez le facteur commun.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.13.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 1 (3 t^{2}) + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.13.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 3 t^{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.14

Appliquez la propriété distributive.

$(5 t \frac{t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.15

Simplifiez

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Étape 3.6.15.1

Multipliez $5 t \frac{t^{4}}{4}$ .

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Étape 3.6.15.1.1

Associez $5$ et $\frac{t^{4}}{4}$ .

$(t \frac{5 t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.15.1.2

Associez $t$ et $\frac{5 t^{4}}{4}$ .

$(\frac{t (5 t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.15.1.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(\frac{5 (t^{1} t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.15.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{5 t^{1 + 4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.15.1.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.15.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.15.3

Multipliez $9$ par $5$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.16.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.16.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.16.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 3.6.16.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.16.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{2 + 1} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.16.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.16.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.17.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.17.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}$ .

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Étape 3.6.17.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.1.2

Factorisez $9$ à partir de $27 t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.17.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} - 6 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.5

Additionnez $t^{2}$ et $3 t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (4 t^{2} - 6)}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.6

Factorisez $2$ à partir de $4 t^{2} - 6$ .

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Étape 3.6.17.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) - 6)}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) + 2 (- 3))}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 t^{2}) + 2 (- 3)$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 \cdot 2 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.1.7

Multipliez $9$ par $2$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.2

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 3.6.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18 (2 t^{2} - 3)$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

Étape 3.6.17.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.17.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 (1)} - 9)$

Étape 3.6.17.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 \cdot 1} - 9)$

Étape 3.6.17.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 t^{2} - 3)}{1} - 9)$

Étape 3.6.17.2.2.4

Divisez $9 (2 t^{2} - 3)$ par $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2} - 3) - 9)$

Étape 3.6.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2}) + 9 \cdot - 3 - 9)$

Étape 3.6.17.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} + 9 \cdot - 3 - 9)$

Étape 3.6.17.5

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 27 - 9)$

Étape 3.6.18

Soustrayez $9$ de $- 27$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$

Étape 3.6.19

Développez $(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{5 t^{5}}{4} (18 t^{2}) + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.20.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$18 \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$2 (9) \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.2.4

Réécrivez l’expression.

$9 \frac{5 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.3

Associez $9$ et $\frac{5 t^{5}}{2}$ .

$\frac{9 (5 t^{5})}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.4

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{45 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.5

Multipliez $\frac{45 t^{5}}{2} t^{2}$ .

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Étape 3.6.20.5.1

Associez $\frac{45 t^{5}}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{5} t^{2}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.5.2

Multipliez $t^{5}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.20.5.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{45 (t^{2} t^{5})}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 t^{2 + 5}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.5.2.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.6.20.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 (- 9)) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 \cdot - 9) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{45 t^{7}}{2} + 5 t^{5} \cdot - 9 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.7

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{3} t^{2} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.9

Multipliez $t^{3}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.20.9.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 (t^{2} t^{3}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{2 + 3} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.9.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.10

Multipliez $- 15$ par $18$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.11

Multipliez $- 36$ par $- 15$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t \cdot t^{2} + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.13

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.20.13.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.13.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 3.6.20.13.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t^{1}) + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{2 + 1} + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.13.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.14

Multipliez $45$ par $18$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

Étape 3.6.20.15

Multipliez $- 36$ par $45$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

Étape 3.6.21

Soustrayez $270 t^{5}$ de $- 45 t^{5}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

Étape 3.6.22

Additionnez $540 t^{3}$ et $810 t^{3}$ .

$f''' (t) = \frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$

Étape 4

La dérivée troisième de $g (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$