Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6^{3 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 6^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $6$ .

$6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6^{3 x} \ln (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6^{3 x} \ln (6) (3 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$6^{3 x} \ln (6) \cdot 3$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $6^{3 x} \ln (6)$ .

$f' (x) = 3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $3 \ln (6)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$ par rapport à $x$ est $3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ .

$3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 6^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$3 \ln (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $6$ .

$3 \ln (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$3 \ln (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3

Élevez $\ln (6)$ à la puissance $1$ .

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.4

Élevez $\ln (6)$ à la puissance $1$ .

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (6^{3 x} {\ln (6)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \cdot 1$

Étape 2.10

Multipliez $9$ par $1$ .

$f'' (x) = 9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $9 \ln^{2} (6)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$ par rapport à $x$ est $9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ .

$9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 6^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$9 \ln^{2} (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $6$ .

$9 \ln^{2} (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$9 \ln^{2} (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3

Élevez $\ln (6)$ à la puissance $1$ .

$9 (6^{3 x} (\ln^{2} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (6^{3 x} {\ln (6)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$9 (6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \cdot 1$

Étape 3.9

Multipliez $27$ par $1$ .

$f''' (x) = 27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6)$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$ .

$27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$