Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 4}$

Étape 3.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

Étape 3.2.1.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

Étape 3.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 3.2.1.3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 3.2.1.3.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{\infty + 4}$

Étape 3.2.1.3.4

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$3 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2.1.3.5

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$3 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$3 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

Étape 3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

Étape 3.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.2.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Étape 3.2.3.6

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 lim_{x \to \infty} 1$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 4}$

Étape 4.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 4}$

Étape 4.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 4}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 4}$

Étape 4.4

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{0 + lim_{x \to - \infty} 4}$

Étape 4.5

Évaluez la limite.

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Étape 4.5.1

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{0}{0 + 4}$

Étape 4.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $0 + 4$ .

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Étape 4.5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$3 \frac{4 (0)}{0 + 4}$

Étape 4.5.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 4}$

Étape 4.5.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$3 \frac{4 (0)}{4 \cdot 0 + 4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$ .

$3 \frac{4 (0)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Étape 4.5.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot (0 + 1)}$

Étape 4.5.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{0}{0 + 1}$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$3 (\frac{0}{1})$

Étape 4.5.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$3 \cdot 0$

Étape 4.5.2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$0$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 3, 0$

Étape 6

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 3, 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 8