Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 13.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 14

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 15.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.6

Réécrivez $- 1 (\frac{3}{2})$ comme $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 15.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 15.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 15.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Étape 15.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Étape 15.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Étape 15.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 15.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 15.2

Associez les fractions.

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Étape 15.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Étape 15.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Étape 15.2.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- 1$