Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$h (x)$ est continu sur $[0, π]$ .

$h (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $h$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Étape 6

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Étape 6.5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 6.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Étape 10

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{u^{5}}{5}$ sur $- 1$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Étape 11.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Étape 11.2.4

Soustrayez $\frac{1}{5}$ de $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Étape 11.2.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Étape 11.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Étape 11.2.8

Associez $6$ et $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Étape 11.2.9

Multipliez $6$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Étape 12.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Étape 13.2

Déplacez $5$ à gauche de $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Étape 14