Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $g (t)$ est continu sur $[2, 5]$ ou non, déterminez le domaine de $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 + t^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 + t^{2} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $t$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$t^{2} \geq - 5$

Étape 1.2.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Étape 1.4

Résolvez $t$ .

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Étape 1.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 + t^{2}}$ comme ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Simplifiez

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Étape 1.4.3

Résolvez $t$ .

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Étape 1.4.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$t^{2} = - 5$

Étape 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 1.4.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 1.4.3.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 1.4.3.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 1.4.3.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Étape 1.4.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = i \sqrt{5}$

Étape 1.4.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - i \sqrt{5}$

Étape 1.4.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${t | t \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${t | t \in ℝ}$

Étape 2

$g (t)$ est continu sur $[2, 5]$ .

$g (t)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Étape 5

Laissez $u = 5 + t^{2}$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 5 + t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 5.1.3

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Étape 5.1.5

Additionnez $0$ et $2 t$ .

$2 t$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Étape 5.3.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$u_{lower} = 9$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Étape 5.5.2

Additionnez $5$ et $25$ .

$u_{upper} = 30$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Étape 8.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Étape 8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $30$ et sur $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Étape 10.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Étape 10.2.4

Évaluez l’exposant.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Étape 10.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Étape 11.3.3

Réécrivez l’expression.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Étape 12

Soustrayez $2$ de $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 14

Associez $\frac{1}{3}$ et $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Étape 16