Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + y^{2} = {(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2}$ , $(0, 0.25)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 0.25$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2})$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 1.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Étape 1.3.2

Différenciez.

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Étape 1.3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1 \cdot 1)$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (2 x^{2}) + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Étape 1.3.9.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.9.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 x^{2} + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Étape 1.3.9.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Étape 1.3.9.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Étape 1.3.9.3

Réorganisez les facteurs de $(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$ .

$(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ .

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez.

$2 y y' + 2 x = 0 + 0 + (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Étape 1.5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Étape 1.5.1.3

Développez $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 y y' + 2 x = 4 x (4 x^{2}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.4.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.1.4.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{2 + 1} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 \cdot 8 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.5

Multipliez $4$ par $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.4.1.7.1

Déplacez $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 (x \cdot x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.8

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.9

Multipliez $4$ par $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.10

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.4.1.10.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.10.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 1.5.1.4.1.10.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{2 + 1} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.11

Multipliez $8$ par $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.12

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.14

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} - 1 (- 2 x)$

Étape 1.5.1.4.1.15

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} + 2 x$

Étape 1.5.1.4.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x$

Étape 1.5.2

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x = 2 y y' + 2 x$

Étape 1.5.3

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x$

Étape 1.5.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.4.1

Soustrayez $16 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3}$

Étape 1.5.4.2

Soustrayez $32 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2}$

Étape 1.5.4.3

Ajoutez $12 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2}$

Étape 1.5.4.4

Ajoutez $8 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.4.5

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$

Étape 1.5.4.6

Associez les termes opposés dans $2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.5.4.6.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} + 0$

Étape 1.5.4.6.2

Additionnez $- 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ et $0$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.5

Factorisez $2 y y'$ à partir de $32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y'$ .

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $32 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.5.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $64 y^{3} y'$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.5.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 16 y y' x$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.5.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.5.5

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2})$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.5.6

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x)$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.5.7

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Étape 1.5.6

Divisez chaque terme dans $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ par $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ par $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$\frac{2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.2.3

Annulez le facteur commun de $16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1$ .

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Étape 1.5.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

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Étape 1.5.6.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $2$ .

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Étape 1.5.6.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.4

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.5.6.3.1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- 16 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (- 16 x y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.3.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 1.5.6.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.3.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.7

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.5.6.3.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $8 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.3.1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))}$

Étape 1.5.6.3.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.3.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.8

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.5.6.3.1.8.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (4 y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.3.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.6.3.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.2

Pour écrire $- \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.6.3.3.1

Multipliez $\frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.6.3.5.1

Factorisez $8 x$ à partir de $- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y$ .

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Étape 1.5.6.3.5.1.1

Factorisez $8 x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.5.1.2

Factorisez $8 x$ à partir de $- 16 x y \cdot y$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.5.1.3

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.5.2

Associez les exposants.

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Étape 1.5.6.3.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.5.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y^{1}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{1 + 1})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.6.3.7.1

Factorisez $2 x$ à partir de $8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}$ .

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Étape 1.5.6.3.7.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $8 x (- x^{2} - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.7.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.7.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2}) + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.7.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Étape 1.5.6.3.8

Pour écrire $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 1.5.6.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.6.3.9.1

Multipliez $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y}$

Étape 1.5.6.3.9.2

Réorganisez les facteurs de $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.6.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y$ .

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Étape 1.5.6.3.11.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 y \cdot y$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2}) + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.3

Simplifiez

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Étape 1.5.6.3.11.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.6.3.11.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.11.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.6.3.11.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x^{1}) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{2 (- 4 x^{2 + 1} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.4.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.11.4.2.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 (x \cdot x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.11.5.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 (y \cdot y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.11.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.6.3.12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - (8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{3}) - (8 x y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.4

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.6.3.12.8.1

Réécrivez $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ comme $- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.5.6.3.12.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 0$ sur $y = 0.25$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot y^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 y^{2})}{y (16 {(0)}^{2} + 32 y^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $0.25$ dans l’expression.

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot {(0.25)}^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 {(0.25)}^{2})}{(0.25) (16 {(0)}^{2} + 32 {(0.25)}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (4 \cdot 0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.4

Élevez $0.25$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot 0.0625 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.5

Multipliez $0$ par $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.7

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.8

Élevez $0.25$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot 0.0625)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.9

Multipliez $- 2$ par $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.3.12

Soustrayez $0.125$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Étape 1.7.4

Simplifiez en multipliant les termes.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $0.25$ par $16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25}$

Étape 1.7.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 0.125$ .

$- \frac{- 0.25}{0.25}$

Étape 1.7.4.2.2

Divisez $- 0.25$ par $0.25$ .

$- - 1$

Étape 1.7.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(0, 0.25)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0.25) = 1 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 0.25 = 1 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $1 \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x + 0$ par $1$ .

$y - 0.25 = x + 0$

Étape 2.3.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 0.25 = x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $0.25$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x + 0.25$

Étape 3