Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ , $(4, \frac{7}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{7}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 1.8.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 1.10

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 1.11

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.12

Associez $- 7$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.13.1

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.14

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{7}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.15

Simplifiez

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Étape 1.15.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.15.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.15.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.15.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 1.15.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.15.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 1.15.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{3}}$

Étape 1.15.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{7}{2^{1 + 3}}$

Étape 1.15.1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$- \frac{7}{2^{4}}$

Étape 1.15.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{7}{16}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{7}{16}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{7}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7}{2}) = - \frac{7}{16} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{7}{2} = 0 + 0 - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} x - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{7}{16}$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{16}$ dans le numérateur.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 (4)} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 7}{4}$ et $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7 \cdot - 1}{4}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{7}{4}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{7}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{7}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{4}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 7 \cdot 2}{4}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 14}{4}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $7$ et $14$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{21}{4}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{7}{16} x) + \frac{21}{4}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{7}{16} x + \frac{21}{4}$

Étape 3