Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ , $(- 3, - \frac{12}{5})$

Étape 1

Écrivez $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ comme une équation.

$y = \frac{36 x}{x^{2} + 36}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 3$ et $y = - \frac{12}{5}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 36$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $x^{2} + 36$ par $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$36 \frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.9

Associez $36$ et $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{36 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{36 (- x^{2}) + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $36$ par $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 1296}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.11

Évaluez la dérivée sur $x = - 3$ .

$\frac{- 36 {(- 3)}^{2} + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 36 \cdot 9 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.12.1.2

Multipliez $- 36$ par $9$ .

$\frac{- 324 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.12.1.3

Additionnez $- 324$ et $1296$ .

$\frac{972}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.12.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{972}{{(9 + 36)}^{2}}$

Étape 2.12.2.2

Additionnez $9$ et $36$ .

$\frac{972}{45^{2}}$

Étape 2.12.2.3

Élevez $45$ à la puissance $2$ .

$\frac{972}{2025}$

Étape 2.12.3

Annulez le facteur commun à $972$ et $2025$ .

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Étape 2.12.3.1

Factorisez $81$ à partir de $972$ .

$\frac{81 (12)}{2025}$

Étape 2.12.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.12.3.2.1

Factorisez $81$ à partir de $2025$ .

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Étape 2.12.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Étape 2.12.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{25}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{12}{25}$ et un point donné, tel que $(- 3, - \frac{12}{5})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{12}{5}) = \frac{12}{25} \cdot (x - (- 3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{12}{25} \cdot (x + 3)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{12}{5} = 0 + 0 + \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} x + \frac{12}{25} \cdot 3$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{12}{25}$ et $x$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12}{25} \cdot 3$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{12}{25} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Associez $\frac{12}{25}$ et $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12 \cdot 3}{25}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $\frac{12}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $- \frac{12}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $\frac{12}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{25}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 12 \cdot 5}{25}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 60}{25}$

Étape 3.3.2.5.2

Soustrayez $60$ de $36$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

Étape 3.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{12 x}{25} - \frac{24}{25}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{12}{25} x - \frac{24}{25}$

Étape 4