Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x + y) = 2 x - 2 y$ , $(π, π)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = π$ et $y = π$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (2 x - 2 y)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 1.2.2

Différenciez.

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Étape 1.2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 - 2 y'$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.1.1

Simplifiez $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Étape 1.5.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Étape 1.5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Étape 1.5.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.1.1.4.1

Multipliez $\cos (x + y)$ par $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Étape 1.5.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 2 - 2 y'$

Étape 1.5.2

Ajoutez $2 y'$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 2 y' = 2$

Étape 1.5.3

Soustrayez $\cos (x + y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' \cos (x + y) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Étape 1.5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x + y) + 2 y'$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y'$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2 = 2 - \cos (x + y)$

Étape 1.5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$

Étape 1.5.5

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ par $\cos (x + y) + 2$ et simplifiez.

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Étape 1.5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ par $\cos (x + y) + 2$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x + y) + 2$ .

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Étape 1.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Étape 1.5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Étape 1.5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = π$ sur $y = π$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$\frac{2 - \cos ((π) + y)}{\cos ((π) + y) + 2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $π$ dans l’expression.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Étape 1.7.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.1

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{2 - \cos (2 π)}{\cos (π + π) + 2}$

Étape 1.7.4.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{2 - \cos (0)}{\cos (π + π) + 2}$

Étape 1.7.4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{\cos (π + π) + 2}$

Étape 1.7.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 - 1}{\cos (π + π) + 2}$

Étape 1.7.4.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{\cos (π + π) + 2}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{1}{\cos (2 π) + 2}$

Étape 1.7.5.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{\cos (0) + 2}$

Étape 1.7.5.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{1 + 2}$

Étape 1.7.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(π, π)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = \frac{1}{3} \cdot (x - (π))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (x - π)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - π = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - π = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (- π)$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y - π = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} (- π)$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $π$ .

$y - π = \frac{x}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- π + π \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x - π + π \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$y = \frac{x - π + 3 π}{3}$

Étape 2.3.2.7

Additionnez $- π$ et $3 π$ .

$y = \frac{x + 2 π}{3}$

Étape 2.3.2.8

Divisez la fraction $\frac{x + 2 π}{3}$ en deux fractions.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2 π}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{3}$

Étape 3