Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = - \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.2.3

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{2} - 6$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.4.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1.1

Factorisez $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ à partir de $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

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Étape 1.8.1.1.1

Factorisez $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ à partir de $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.1.2

Factorisez $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ à partir de $- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.1.3

Factorisez $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ à partir de $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.4

Soustrayez $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} - 12$ .

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Étape 1.8.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.2

Annulez le facteur commun à ${(x^{2} - 6)}^{4}$ et ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

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Étape 1.8.2.1

Factorisez ${(x^{2} - 6)}^{4}$ à partir de $6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Étape 1.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.2.2.1

Factorisez ${(x^{2} - 6)}^{4}$ à partir de ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.8.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.8.6

Réécrivez $- (x^{2} + 4)$ comme $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.9

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.10.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.10.1.3

Multipliez $8$ par $6$ .

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.10.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

Étape 1.10.2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

Étape 1.10.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

Étape 1.10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.10.3.1

Multipliez $48$ par $- 8$ .

$- \frac{- 384}{64}$

Étape 1.10.3.2

Divisez $- 384$ par $64$ .

$- - 6$

Étape 1.10.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $6$ et un point donné, tel que $(- 2, - \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $6 \cdot (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $12$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $1$ de $24$ .

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

Étape 3