Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 + \csc (x)}{9 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{6}$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 + \csc (x)$ et $g (x) = 9 - \csc (x)$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [5 + \csc (x)] - (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [9 - \csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + \csc (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [9 - \csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [9 - \csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [9 - \csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [9 - \csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - \csc (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (5 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.4.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (5 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (5 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.4.5

Multipliez.

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Étape 1.4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $5 + \csc (x)$ par $1$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (5 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.5

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(9 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (5 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (5 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{- 9 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.2

Multipliez $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

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Étape 1.6.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.2.2

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.2.3

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.2.4

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 5 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 5 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.5

Multipliez $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 1.6.3.1.5.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.5.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $- 9 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Étape 1.6.3.2.1

Soustrayez $\csc^{2} (x) \cot (x)$ de $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.2.2

Additionnez $- 9 \csc (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x)$ et $0$ .

$\frac{- 9 \csc (x) \cot (x) - 5 \csc (x) \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.3.3

Soustrayez $5 \csc (x) \cot (x)$ de $- 9 \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 14 \csc (x) \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14 \csc (x) \cot (x)}{{(9 - \csc (x))}^{2}}$

Étape 1.7

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{6}$ .

$- \frac{14 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(9 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$- \frac{14 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(9 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Étape 1.8.1.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{6})$ est $\sqrt{3}$ .

$- \frac{14 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(9 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $14$ par $2$ .

$- \frac{28 \sqrt{3}}{{(9 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Étape 1.8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.2.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$- \frac{28 \sqrt{3}}{{(9 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

Étape 1.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{28 \sqrt{3}}{{(9 - 2)}^{2}}$

Étape 1.8.2.3

Soustrayez $2$ de $9$ .

$- \frac{28 \sqrt{3}}{7^{2}}$

Étape 1.8.2.4

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- \frac{28 \sqrt{3}}{49}$

Étape 1.8.3

Annulez le facteur commun à $28$ et $49$ .

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Étape 1.8.3.1

Factorisez $7$ à partir de $28 \sqrt{3}$ .

$- \frac{7 (4 \sqrt{3})}{49}$

Étape 1.8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $49$ .

$- \frac{7 (4 \sqrt{3})}{7 (7)}$

Étape 1.8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7 (4 \sqrt{3})}{7 \cdot 7}$

Étape 1.8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{7}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{6}, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4 \sqrt{3}}{7} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{3}}{7} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{4 \sqrt{3}}{7} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4 \sqrt{3}}{7} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{3}}{7} x - \frac{4 \sqrt{3}}{7} (- \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ .

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} - \frac{4 \sqrt{3}}{7} (- \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{7} (- \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.2.3.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{7} \cdot \frac{- π}{6}$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{2 (- 2 \sqrt{3})}{7} \cdot \frac{- π}{6}$

Étape 2.3.1.2.3.4

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{2 (- 2 \sqrt{3})}{7} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Étape 2.3.1.2.3.5

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{2 (- 2 \sqrt{3})}{7} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2.3.6

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{7} \cdot \frac{- π}{3}$

Étape 2.3.1.2.4

Multipliez $\frac{- 2 \sqrt{3}}{7}$ par $\frac{- π}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{- 2 \sqrt{3} (- π)}{7 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez.

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Étape 2.3.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{2 \sqrt{3} π}{7 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2.5.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$y - 1 = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{7} + \frac{2 \sqrt{3} π}{21}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x \sqrt{3}}{7} + \frac{2 \sqrt{3} π}{21}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{7} + \frac{2 \sqrt{3} π}{21} + 1$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{7} + \frac{2 \sqrt{3} π}{21} + \frac{21}{21}$

Étape 2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{7} + \frac{2 \sqrt{3} π + 21}{21}$

Étape 2.3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4 \sqrt{3}}{7} x) + \frac{2 \sqrt{3} π + 21}{21}$

Étape 2.3.3.4

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{7} x + \frac{2 \sqrt{3} π + 21}{21}$

Étape 3