Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2} \arctan (x)$ ; $(1, \frac{π}{8})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \frac{π}{8}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 x^{2}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2 x^{2} + 2}$

Étape 1.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2}$

Étape 1.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Étape 1.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{1}{2 ({(1)}^{2} + 1)}$

Étape 1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2 (1 + 1)}$

Étape 1.6.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(1, \frac{π}{8})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{π}{8} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{π}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{8}$

Étape 2.3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{π}{8}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{8} + \frac{π}{8}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2 + π}{8}$

Étape 2.3.3.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) + π}{8}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $π$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{8}$

Étape 2.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2 - π)}{8}$

Étape 2.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x}{4} - \frac{2 - π}{8}$

Étape 2.3.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{2 - π}{8}$

Étape 3