Calcul infinitésimal Exemples

$6 x y + π \sin (y) = 62 π$ , $(3, \frac{7 π}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = \frac{7 π}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (62 π)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x y + π \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π \sin (y)$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Étape 1.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Étape 1.2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Étape 1.3

Comme $62 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $62 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ par $6 x + π \cos (y)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ par $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6 x + π \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 3$ sur $y = \frac{7 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$- \frac{6 y}{6 (3) + π \cos (y)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $\frac{7 π}{2}$ dans l’expression.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Étape 1.7.3

Associez $6$ et $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Étape 1.7.4.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Étape 1.7.4.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Étape 1.7.4.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cdot 0}$

Étape 1.7.4.5

Multipliez $π$ par $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + 0}$

Étape 1.7.4.6

Additionnez $18$ et $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18}$

Étape 1.7.5

Multipliez $6$ par $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{18}$

Étape 1.7.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.6.1

Réduisez l’expression $\frac{42 π}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{18}$

Étape 1.7.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{18}$

Étape 1.7.6.1.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{18}$

Étape 1.7.6.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{18}$

Étape 1.7.6.2

Divisez $21 π$ par $1$ .

$- \frac{21 π}{18}$

Étape 1.7.7

Annulez le facteur commun à $21$ et $18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.7.1

Factorisez $3$ à partir de $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{18}$

Étape 1.7.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (6)}$

Étape 1.7.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 6}$

Étape 1.7.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7 π}{6}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{7 π}{6}$ et un point donné, tel que $(3, \frac{7 π}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} x - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{7 π}{6}$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 π}{6}$ dans le numérateur.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{6} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 (2)} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 7 π}{2}$ et $- 1$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π \cdot - 1}{2}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{7 π}{2}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{7 π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2} + \frac{7 π}{2}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{7 π + 7 π}{2}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $7 π$ et $7 π$ .

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Étape 2.3.2.4.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14 π$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2}$

Étape 2.3.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{1}$

Étape 2.3.2.4.2.2.4

Divisez $7 π$ par $1$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + 7 π$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Déplacez $x$ .

$y = - \frac{7 π x}{6} + 7 π$

Étape 2.3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{7 π}{6} x) + 7 π$

Étape 2.3.3.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{7 π}{6} x + 7 π$

Étape 3