Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ , $(4, \frac{3}{16})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{3}{16}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$

Étape 1.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ comme ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{- 2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3 x$ .

$3 (- 2 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 ({(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \cdot 1)$

Étape 1.3.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Étape 1.4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Étape 1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Étape 1.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Étape 1.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Étape 1.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.4.7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x - 3 x)}^{3}}$

Étape 1.4.7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x + x \cdot - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x (x - 3))}^{3}}$

Étape 1.4.7.2

Appliquez la règle de produit à $x (x - 3)$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.8

Multipliez $- 2 x + 3$ par $\frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.9

Déplacez $6$ à gauche de $- 2 x + 3$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{6 (- (2 x) + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.11

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.13

Réécrivez $- (2 x - 3)$ comme $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 (2 x - 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{6 (2 (4) - 3)}{{(4)}^{3} {((4) - 3)}^{3}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{6 (8 - 3)}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Étape 1.6.1.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.2.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} \cdot 1^{3}}$

Étape 1.6.2.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1^{3}}$

Étape 1.6.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1}$

Étape 1.6.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.6.3.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$- \frac{30}{64 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.2

Multipliez $64$ par $1$ .

$- \frac{30}{64}$

Étape 1.6.3.3

Annulez le facteur commun à $30$ et $64$ .

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Étape 1.6.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$- \frac{2 (15)}{64}$

Étape 1.6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Étape 1.6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Étape 1.6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{15}{32}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{15}{32}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{3}{16})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3}{16}) = - \frac{15}{32} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{3}{16} = 0 + 0 - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} x - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{15}{32}$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{15}{32}$ dans le numérateur.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{32} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 (8)} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{8} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 15}{8}$ et $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15 \cdot - 1}{8}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 15$ par $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{15}{8}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $15$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{3}{16}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} + \frac{3}{16}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{15}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{16}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{15}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{16} + \frac{3}{16}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2 + 3}{16}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $15$ par $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{30 + 3}{16}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $30$ et $3$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{33}{16}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{15}{32} x) + \frac{33}{16}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{15}{32} x + \frac{33}{16}$

Étape 3