Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{t}{t^{2} + 14}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = t^{2} + 14$ .

$\frac{(t^{2} + 14) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 14) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $t^{2} + 14$ par $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 14$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14]$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $14$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $14$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.7

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2}) + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.8.2

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (t^{2}) - 1 (- 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2}) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4

Réécrivez $- (t^{2} - 14)$ comme $- 1 (t^{2} - 14)$ .

$\frac{- 1 (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.1.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (t) = - \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$ .

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$t^{2} - 14 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 2.3.1

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$t^{2} = 14$

Étape 2.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{14}$

Étape 2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \sqrt{14}$

Étape 2.3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \sqrt{14}$

Étape 2.3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{t}{t^{2} + 14}$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $t = \sqrt{14}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $t$ par $\sqrt{14}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{{(\sqrt{14})}^{2} + 14}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

Étape 4.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

Étape 4.1.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{14}}{14 + 14}$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $14$ et $14$ .

$\frac{\sqrt{14}}{28}$

Étape 4.2

Évaluez sur $t = - \sqrt{14}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $t$ par $- \sqrt{14}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- \sqrt{14})}^{2} + 14}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{14}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{1 {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{14}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Étape 4.2.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

Étape 4.2.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- \sqrt{14}}{14 + 14}$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $14$ et $14$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{28}$

Étape 4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{14}}{28}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{14}, \frac{\sqrt{14}}{28}), (- \sqrt{14}, - \frac{\sqrt{14}}{28})$

Étape 5