Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ comme ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (- {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$- 32 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.1.3.7

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Étape 1.1.3.8

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.1.1

Associez $- 32$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Étape 1.1.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Étape 1.1.5.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 6 = 0$

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Étape 2.3

Définissez $2 x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $2 x - 6$ égal à $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $2 x - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 6$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3$

Étape 2.4

Définissez $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ égal à $0$ .

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$32 = 0$

Étape 2.4.2.2

Comme $32 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ vraie.

$x = 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $x^{2} - 6 x - 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 7, 1$

Étape 3.2.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

${((x - 7) (x + 1))}^{2} = 0$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 7) (x + 1)$ .

${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.3

Définissez ${(x - 7)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez ${(x - 7)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 3.2.3.2

Résolvez ${(x - 7)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Définissez le $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.2.4

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.4.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 7, - 1$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 7$

Étape 4

Évaluez $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{32}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 7}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{32}{9 - 6 \cdot 3 - 7}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{32}{9 - 18 - 7}$

Étape 4.1.2.1.3

Soustrayez $18$ de $9$ .

$\frac{32}{- 9 - 7}$

Étape 4.1.2.1.4

Soustrayez $7$ de $- 9$ .

$\frac{32}{- 16}$

Étape 4.1.2.2

Divisez $32$ par $- 16$ .

$- 2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{32}{{(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 7}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{32}{1 - 6 \cdot - 1 - 7}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{32}{1 + 6 - 7}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $7$ de $7$ .

$\frac{32}{0}$

Étape 4.2.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{32}{0}$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$\frac{32}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 7}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{32}{49 - 6 \cdot 7 - 7}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $7$ .

$\frac{32}{49 - 42 - 7}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $42$ de $49$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $7$ de $7$ .

$\frac{32}{0}$

Étape 4.3.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{32}{0}$

Étape 4.3.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(3, - 2)$

Étape 5