Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \frac{120}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{120}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{120}{x}$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x + 120 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $120$ .

$2 x - 120 x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 120 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $- 120$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 120}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{120}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{120}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{120}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{120}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 120 = 0 x^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 120 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $120$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 120$

Étape 2.4.2

Soustrayez $120$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 120 = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 120$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 120 = 0$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 120$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 60 = 0$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 60$ .

$2 (x^{3} - 60) = 0$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 60) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 60) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $x^{3} - 60$ par $1$ .

$x^{3} - 60 = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{3} - 60 = 0$

Étape 2.4.5

Ajoutez $60$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 60$

Étape 2.4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{60}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{120}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x^{2} + \frac{120}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \sqrt[3]{60}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt[3]{60}$ .

${(\sqrt[3]{60})}^{2} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{60}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{60^{2}}$ .

$\sqrt[3]{60^{2}} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $60$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{3600} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez $3600$ comme $2^{3} \cdot 450$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Factorisez $8$ à partir de $3600$ .

$\sqrt[3]{8 (450)} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Étape 4.1.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1.6.1

Multipliez $\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{\sqrt[3]{60} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Élevez $\sqrt[3]{60}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1 + 2}}$

Étape 4.1.2.1.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{3}}$

Étape 4.1.2.1.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{60}}^{3}$ comme $60$ .

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Étape 4.1.2.1.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{60}$ comme $60^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{(60^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 4.1.2.1.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.1.2.1.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{1}}$

Étape 4.1.2.1.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60}$

Étape 4.1.2.1.7

Annulez le facteur commun à $120$ et $60$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Factorisez $60$ à partir de $120 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60}$

Étape 4.1.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.7.2.1

Factorisez $60$ à partir de $60$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 (1)}$

Étape 4.1.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{2 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{1}$

Étape 4.1.2.1.7.2.4

Divisez $2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ par $1$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$

Étape 4.1.2.1.8

Réécrivez ${\sqrt[3]{60}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{60^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{60^{2}}$

Étape 4.1.2.1.9

Élevez $60$ à la puissance $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{3600}$

Étape 4.1.2.1.10

Réécrivez $3600$ comme $2^{3} \cdot 450$ .

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Étape 4.1.2.1.10.1

Factorisez $8$ à partir de $3600$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{8 (450)}$

Étape 4.1.2.1.10.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 450}$

Étape 4.1.2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt[3]{450} + 2 (2 \sqrt[3]{450})$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 4 \sqrt[3]{450}$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $2 \sqrt[3]{450}$ et $4 \sqrt[3]{450}$ .

$6 \sqrt[3]{450}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{120}{0}$

Étape 4.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\sqrt[3]{60}, 6 \sqrt[3]{450})$

Étape 5