Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}} d x$

Étape 4

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3} d x$

Étape 6

Développez $(3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x^{2} x^{- 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{2 - 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Étape 6.4

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Étape 6.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 (x^{1} x^{- 3}) + 3 x^{- 3} d x$

Étape 6.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{1 - 3} + 3 x^{- 3} d x$

Étape 6.7

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Étape 9

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Étape 10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int 3 x^{- 3} d x$

Étape 12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 14

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Étape 14.1

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Étape 14.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 14.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 14.2

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$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 14.3

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Étape 14.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 14.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Étape 14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$