Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Étape 4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (x)$ en $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour transformer $1$ en $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Soustrayez ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ de ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Étape 6.2

Additionnez ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ et ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Étape 6.3

Additionnez $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ et $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Étape 7

Multiplier l’argument par $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Étape 8

Associez.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Étape 9

Multipliez ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ par $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Étape 10

Réécrivez $\sec (\frac{x}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Étape 11

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ à partir de $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Étape 11.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Étape 11.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 13

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 13.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 13.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Étape 14.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Étape 14.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Étape 15

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 16.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 16.3

Multipliez $\int \sec^{2} (u) d u$ par $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Étape 17

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Étape 18

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Étape 19

Remettez les termes dans l’ordre.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

Étape 20

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (\frac{1}{2} x) + C$