Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (\sqrt{x})$

Étape 1

Écrivez $\sin (\sqrt{x})$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (\sqrt{x})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (\sqrt{x}) d x$

Étape 4

Laissez $u = \sqrt{x}$ . Alors $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

$\int 2 u \sin (u) d u$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u \sin (u) d u$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = \sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Étape 8.2

Multipliez $\int \cos (u) d u$ par $1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Étape 10

Réécrivez $2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ comme $2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{x}$ .

$2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (\sqrt{x})$ .

$F (x) =$ $2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$