Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

Étape 5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

Étape 5.3.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

Étape 5.3.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Étape 5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

Étape 6

Développez $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{3}{2}}$ et $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.7

Additionnez $3$ et $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.8

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{5}{2}}$ et $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$