Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 t^{2} - 3}{t^{3} - 3 t}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3 t^{2} - 3}{t^{3} - 3 t}$ comme une fonction.

$f (t) = \frac{3 t^{2} - 3}{t^{3} - 3 t}$

Étape 2

La fonction $F (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (t) = \int \frac{3 t^{2} - 3}{t^{3} - 3 t} d t$

Étape 4

Laissez $u = t^{3} - 3 t$ . Alors $d u = (3 t^{2} - 3) d t$ , donc $\frac{1}{3 t^{2} - 3} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = t^{3} - 3 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $t^{3} - 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} - 3 t]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} - 3 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3 t]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3 t]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 3 t]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3 t$ par rapport à $t$ est $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 t^{2} - 3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 t^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 t^{2} - 3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{3} - 3 t$ .

$\ln (| t^{3} - 3 t |) + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (t) = \frac{3 t^{2} - 3}{t^{3} - 3 t}$ .

$F (t) =$ $\ln (| t^{3} - 3 t |) + C$