Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

Étape 4

Laissez $x = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.2

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 6

Élevez $\csc (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 7

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (t)$ comme $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 10

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 11

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Étape 12

Écrivez $\tan (t)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Étape 13.2

Associez.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à ${\sin (t)}^{2}$ et $\sin (t)$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Étape 13.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Étape 13.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Étape 13.4

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 14

Multipliez par $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 15

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Étape 16

Séparez les fractions.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Étape 17

Convertissez de $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ à $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Étape 18

Convertissez de $\frac{1}{\cos (t)}$ à $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Étape 19

Comme la dérivée de $\sec (t)$ est $\tan (t) \sec (t)$ , l’intégrale de $\tan (t) \sec (t)$ est $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Étape 20

Simplifiez

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Étape 21

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

Étape 22

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$