Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ comme une fonction.

$f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Étape 2

La fonction $F (u)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (u)$ .

$F (u) = \int f (u) d u$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (u) = \int \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 6

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.2

Multipliez $u^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.3

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - (u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}) d u$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1 - 1}{2}} d u$

Étape 8.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{2}} d u$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 (0)}{2}} d u$

Étape 8.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Étape 8.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Étape 8.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{1}} d u$

Étape 8.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{0} d u$

Étape 8.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 d u$

Étape 8.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 1 d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 1 d u$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C - u + C$

Étape 12

Simplifiez

$2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$F (u) =$ $2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$