Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{2 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{2 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.2

Multipliez par $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.3

Factorisez ${\sqrt{2}}^{2}$ à partir de $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.4

Factorisez ${\sqrt{2}}^{2}$ à partir de ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.7

Remettez dans l’ordre $2$ et $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Étape 5.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Étape 5.2.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

Étape 5.2.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

Étape 5.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

Étape 5.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

Étape 5.2.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Étape 5.2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Étape 5.2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Étape 5.2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Étape 5.2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

Étape 5.2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

Étape 5.2.10

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (t)$ .

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 7

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 9.3

Multipliez $\int 1 + \cos (2 t) d t$ par $1$ .

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

Étape 12

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 12.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 12.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 13

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Étape 15

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Étape 16

Simplifiez

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

Étape 17.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.2.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 18.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.3

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

Étape 18.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.4.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

Étape 18.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

Étape 18.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

Étape 18.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

Étape 18.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

Étape 18.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 18.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

Étape 18.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

Étape 18.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Étape 18.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Étape 18.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

Étape 18.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

Étape 18.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$