Calcul infinitésimal Exemples

$19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Étape 1

Écrivez $19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ comme une fonction.

$f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Étape 2

La fonction $F (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (t) = \int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 5

Comme $19.21$ est constant par rapport à $t$ , placez $19.21$ en dehors de l’intégrale.

$19.21 \int \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Alors $d u_{1} = 1.7 d t$ , donc $\frac{1}{1.7} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1.7 t + 0.3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $1.7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1.7 t$ par rapport à $t$ est $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $1.7$ par $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $0.3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1.7 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $1.7$ et $0$ .

$1.7$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$19.21 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 7

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{1.7}$ .

$19.21 \int \frac{\sin (u_{1})}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 8

Comme $\frac{1}{1.7}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{1.7}$ en dehors de l’intégrale.

$19.21 (\frac{1}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 9

Associez $\frac{1}{1.7}$ et $19.21$ .

$\frac{19.21}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 10

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 11

Comme $- 16.32$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 16.32$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Étape 12

Laissez $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Alors $d u_{2} = 1.7 d t$ , donc $\frac{1}{1.7} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Étape 12.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1.7 t + 0.3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 12.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

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Étape 12.1.3.1

Comme $1.7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1.7 t$ par rapport à $t$ est $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 12.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 12.1.3.3

Multipliez $1.7$ par $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Étape 12.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 12.1.4.1

Comme $0.3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1.7 + 0$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $1.7$ et $0$ .

$1.7$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{1.7} d u_{2}$

Étape 13

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{1.7}$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \frac{\cos (u_{2})}{1.7} d u_{2}$

Étape 14

Comme $\frac{1}{1.7}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{1.7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 (\frac{1}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{1.7}$ et $- 16.32$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{- 16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 16

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} (\sin (u_{2}) + C)$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez

$11.3 (- \cos (u_{1})) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Étape 17.2

Multipliez $- 1$ par $11.3$ .

$- 11.3 \cos (u_{1}) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Divisez $16.32$ par $1.7$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 1 \cdot 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Étape 19.2

Multipliez $- 1$ par $9.6$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Étape 20

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ .

$F (t) =$ $- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$