Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} {(3 + x)}^{2}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} {(3 + x)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} {(3 + x)}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} {(3 + x)}^{2} d x$

Étape 4

Développez $x^{2} {(3 + x)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(3 + x)}^{2}$ comme $(3 + x) (3 + x)$ .

$\int x^{2} ((3 + x) (3 + x)) d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (3 (3 + x) + x (3 + x)) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x (3 + x)) d x$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Étape 4.8

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Étape 4.9

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Étape 4.10

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (3 \cdot x) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Étape 4.11

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + 3 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (x \cdot x) d x$

Étape 4.12

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2} x + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Étape 4.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Étape 4.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2 + 1} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Étape 4.15

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Étape 4.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + x^{2} x \cdot x d x$

Étape 4.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + x^{2} x \cdot x d x$

Étape 4.18

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x \cdot x d x$

Étape 4.19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x^{1} x d x$

Étape 4.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2 + 1} x d x$

Étape 4.21

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x d x$

Étape 4.22

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x^{1} d x$

Étape 4.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3 + 1} d x$

Étape 4.24

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{4} d x$

Étape 4.25

Additionnez $3 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$\int 9 x^{2} + 6 x^{3} + x^{4} d x$

Étape 4.26

Remettez dans l’ordre $6 x^{3}$ et $x^{4}$ .

$\int 9 x^{2} + x^{4} + 6 x^{3} d x$

Étape 4.27

Déplacez $9 x^{2}$ .

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Étape 7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 \int x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 9 x^{2} d x$

Étape 9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 \int x^{2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 11.2.2

Associez $9$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{9 x^{3}}{3} + C$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3} + C$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 (1)} + C$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{3}}{1} + C$

Étape 11.2.3.2.4

Divisez $3 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} {(3 + x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$