Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\tan^{2} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\tan^{2} (x)} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} d x$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} d x$

Étape 4.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Étape 4.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Étape 4.5

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\int \cot^{2} (x) d x$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (x)$ comme $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 8

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$- x + C - \cot (x) + C$

Étape 9

Simplifiez

$- x - \cot (x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$