Calcul infinitésimal Exemples

$x {(4 x - 1)}^{2}$

Étape 1

Écrivez $x {(4 x - 1)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{2} d x$

Étape 4

Laissez $u = 4 x - 1$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 4 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{2}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{u}{4}$ par $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 6.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 6.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 6.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Étape 6.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{16} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} \int u^{2} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16 \cdot 4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16 \cdot 3} u^{3} + C$

Étape 12.2.4

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{48} u^{3} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$