Calcul infinitésimal Exemples

$x^{6} - 2 x^{3} + 1$

Étape 1

Définissez $x^{6} - 2 x^{3} + 1$ égal à $0$ .

$x^{6} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Étape 2.1.2

Laissez $u = x^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{3}$ par $u$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 2.1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

${(x^{3} - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(x^{3} - 1^{3})}^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}^{2} = 0$

Étape 2.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de produit à $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x^{2} + x + 1 = \pm 0$

Étape 2.5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.5.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3