Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}$

Étape 1

Définissez $\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}$ égal à $0$ .

$\sqrt{x^{2} + 10 x + 27} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 10 x + 27}$ comme ${(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 10 x + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 10 x + 27)}^{1} = 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 10 x + 27 = 0^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} + 10 x + 27 = 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 10$ et $c = 27$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 27)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 27$ .

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Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 108}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Soustrayez $108$ de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 5 \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.3.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 5 + i \sqrt{2}, - 5 - i \sqrt{2}$

$x = - 5 \pm i \sqrt{2}$

Étape 3