Calcul infinitésimal Exemples

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = - x + 9$ et $g (x) = 3 x - 3$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(- x + 9)}^{2}$ comme $(- x + 9) (- x + 9)$ .

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.2

Développez $(- x + 9) (- x + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.5

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.7

Multipliez $9$ par $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $9 x$ de $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Étape 2.1.4

Réécrivez ${(3 x - 3)}^{2}$ comme $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

Étape 2.1.5

Développez $(3 x - 3) (3 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

Étape 2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Étape 2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Étape 2.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Étape 2.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Étape 2.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Étape 2.1.6.1.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Étape 2.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

Étape 2.1.6.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $9 x$ de $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

Étape 2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Étape 2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $- 18$ par $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

Étape 2.1.8.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

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Étape 2.2.1.1

Additionnez $- 18 x$ et $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ et $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

Étape 2.2.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

Étape 2.2.3

Soustrayez $9$ de $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Étape 4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Étape 8.2

Évaluez $72 x$ sur $3$ et sur $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 8.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.6

Additionnez $9$ et $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.7

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.8

Multipliez $72$ par $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

Étape 8.3.9

Multipliez $- 72$ par $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

Étape 8.3.10

Additionnez $216$ et $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

Étape 8.3.11

Additionnez $- 72$ et $216$ .

$V = π \cdot 144$

Étape 8.3.12

Déplacez $144$ à gauche de $π$ .

$V = 144 π$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = 144 π$

Forme décimale :

$V = 452.38934211 \dots$

Étape 10