Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x}$ , $y = 2$ , $x = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 2$ et $g (x) = \sqrt{x}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$V = 4 - {(\sqrt{x})}^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = 4 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = 4 - x^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = 4 - x^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = 4 - x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$V = 4 - x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 d x + \int_{0}^{4} - x d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (4 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (4 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (4 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$V = π (4 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}))$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $4 x$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π ((4 \cdot 4) - 4 \cdot 0 - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}))$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π (4 \cdot 4 - 4 \cdot 0 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$V = π (16 - 4 \cdot 0 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$V = π (16 + 0 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$V = π (16 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$V = π (16 - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$V = π (16 - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (16 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (16 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (16 - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.5.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$V = π (16 - (8 - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 7.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (16 - (8 - \frac{0}{2}))$

Étape 7.2.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$V = π (16 - (8 - \frac{2 (0)}{2}))$

Étape 7.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (16 - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Étape 7.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (16 - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Étape 7.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (16 - (8 - \frac{0}{1}))$

Étape 7.2.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (16 - (8 - 0))$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (16 - (8 + 0))$

Étape 7.2.3.9

Additionnez $8$ et $0$ .

$V = π (16 - 1 \cdot 8)$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$V = π (16 - 8)$

Étape 7.2.3.11

Soustrayez $8$ de $16$ .

$V = π \cdot 8$

Étape 7.2.3.12

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$V = 8 π$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = 8 π$

Forme décimale :

$V = 25.13274122 \dots$

Étape 9