Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{8^{0} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{8^{0} - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.5.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8^{t} - 5^{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $8$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5^{t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - \frac{d}{d t} [5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - (5^{t} \ln (5))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 3.4.3

Supprimez les parenthèses.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{\frac{d}{d t} [t]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{1}$

Étape 4

Divisez $8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Étape 6

Placez le terme $\ln (8)$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\ln (8) lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Étape 7

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Étape 8

Placez le terme $\ln (5)$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) lim_{t \to 0} 5^{t}$

Étape 9

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (8) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Étape 11.1.2

Multipliez $\ln (8)$ par $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Étape 11.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (8) - \ln (5)$

Étape 11.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8}{5})$