Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{4 x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 1.3

Comme l’exposant $4 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{4 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{4 x} (4 \cdot 1)}$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{4 x} \cdot 4}$

Étape 3.7

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 \cdot e^{4 x}}$

Étape 3.8

Multipliez $4$ par $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{4 x}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{5}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{4 x}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 5.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 5.1.3

Comme l’exposant $4 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{4 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 5.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 5.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 5.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Étape 5.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{4 x} \cdot 4}$

Étape 5.3.7

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4 e^{4 x}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4 e^{4 x}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{4 x}}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 6.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 6.1.3

Comme l’exposant $4 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{4 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 6.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 6.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 6.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 6.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 6.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Étape 6.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{4 x} \cdot 4}$

Étape 6.3.7

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{4 e^{4 x}}$

Étape 7

Placez le terme $\frac{3}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}}$

Étape 8

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 8.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 8.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 8.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 8.1.3

Comme l’exposant $4 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{4 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 8.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 8.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 8.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 8.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 8.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 8.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 8.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 8.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Étape 8.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4}$

Étape 8.3.7

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4 e^{4 x}}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{4 e^{4 x}}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{4 x}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 e^{4 x}}$

Étape 9

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}}$

Étape 10

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 10.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 10.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Étape 10.1.3

Comme l’exposant $4 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{4 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 10.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 10.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 10.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 10.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 10.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Étape 10.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 10.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 10.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 10.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Étape 10.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 10.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Étape 10.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4}$

Étape 10.3.7

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Étape 11

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x}}$

Étape 12

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{4 x}}$ approche de $0$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Étape 13.1.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 13.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15}{4 \cdot 4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 13.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{15}{16} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 13.2

Multipliez $\frac{15}{16} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 13.2.1

Multipliez $\frac{15}{16}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{15}{16 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 13.2.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{15}{32} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 13.3

Multipliez $\frac{15}{32} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 13.3.1

Multipliez $\frac{15}{32}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{15}{32 \cdot 4} \cdot 0$

Étape 13.3.2

Multipliez $32$ par $4$ .

$\frac{15}{128} \cdot 0$

Étape 13.4

Multipliez $\frac{15}{128}$ par $0$ .

$0$