Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (6 t)}{\sin (2 t)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (6 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 6 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{\tan (6 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\tan (6 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (6 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (6 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (6 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan (t)$ et $g (t) = 6 t$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) (6 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) \cdot 6}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.6

Déplacez $6$ à gauche de $\sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \cdot \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.7

Multipliez $6$ par $\sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Étape 3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

Étape 3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

Étape 3.12

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

Étape 3.13

Multipliez $2$ par $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{2 \cos (2 t)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 \cos (2 t)}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 (\cos (2 t))}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 \cos (2 t)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to 0} \frac{3 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t)}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$3 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (6 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (6 t)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (6 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$3 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 6 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Étape 9

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Étape 10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$3 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 13.1.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$3 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 13.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 13.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 13.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{1}{1})$

Étape 13.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 1$

Étape 13.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$