Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \log (x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\log (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\log (1)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Étape 1.2.3

La base logarithmique $10$ de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{7 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Étape 1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Étape 1.3.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 12}$

Étape 1.3.5

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Étape 1.3.6

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Étape 1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Étape 1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{7 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Étape 1.3.7.1.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Étape 1.3.7.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 1 \cdot 12}$

Étape 1.3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 12}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $7$ et $5$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Étape 1.3.7.3

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 5 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Étape 3.5.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Étape 3.6

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + 0}$

Étape 3.7

Additionnez $14 x + 5$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{14 x + 5}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{x \ln (10)}$ par $\frac{1}{14 x + 5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10) (14 x + 5)}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{\ln (10)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (14 x + 5)}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} 14 x + 5}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} 14 x + lim_{x \to 1} 5)}$

Étape 11

Placez le terme $14$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5)}$

Étape 12

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 14.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Étape 14.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 \cdot 1 + 5}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez $14$ par $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 + 5}$

Étape 14.2.2

Additionnez $14$ et $5$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{19}$

Étape 14.3

Multipliez $\frac{1}{\ln (10)}$ par $\frac{1}{19}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cdot 19}$

Étape 14.4

Déplacez $19$ à gauche de $\ln (10)$ .

$\frac{1}{19 \ln (10)}$