Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $\ln (4)$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (4 + 0) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{4 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $4 + 0$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 (1)})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 \cdot 1})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2.4.4

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (4 + x) - \ln (4)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 + x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.6

Multipliez $\frac{1}{4 + x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.4

Comme $- \ln (4)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (4)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Additionnez $\frac{1}{4 + x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{1}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4} \cdot 1$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{x + 4}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{0 + 4}$

Étape 7

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{1}{4}$