Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{2 π}{x})$

Étape 1

Réécrivez $x \sin (\frac{2 π}{x})$ comme $\frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $2 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (2 π \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $2 π \cdot 0$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{\sin (0 π)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{2 π}{x}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.3

Comme $2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 π}{x}$ par rapport à $x$ est $2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (\frac{- 2}{x^{2}} π)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $\frac{- 2}{x^{2}}$ et $π$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{- 2 π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- \frac{2 π}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7.2.4

Associez $\cos (\frac{2 π}{x})$ et $\frac{2 π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (\frac{2 π}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.8

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Étape 2.3.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Étape 2.5

Combinez les facteurs.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.6.2

Divisez $2 π \cos (\frac{2 π}{x})$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 π \cos (\frac{2 π}{x})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 π lim_{x \to \infty} \cos (\frac{2 π}{x})$

Étape 3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 π \cos (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})$

Étape 3.3

Placez le terme $2 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 π \cos (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$2 π \cos (2 π \cdot 0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $2 π \cdot 0$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$2 π \cos (0 π)$

Étape 5.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$2 π \cos (0)$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 π \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 π$