Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Étape 1.3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Étape 3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.2

Associez $\frac{3}{x}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

Étape 6

Réduisez.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

Étape 6.2.5

Divisez $3 x^{- \frac{1}{3}}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 7.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ approche de $0$ .

$3 \cdot 0$

Étape 9

Multipliez $3$ par $0$ .

$0$