Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Remettez dans l’ordre $2$ et $- x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

Étape 1.3.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11 x^{2} - 2 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $11$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.6

Additionnez $22 x - 2$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

Étape 3.10

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

Étape 4

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{22 x - 2}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

Étape 4.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $22$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

Étape 5

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$- \infty$