Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 2 x^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.2.7.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.6

Additionnez $3 x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + 0}$

Étape 3.10

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 9

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Étape 12.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Étape 12.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4}{1^{2}}$

Étape 12.1.4

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1^{2}}$

Étape 12.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

Étape 12.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$