Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5} + 4 x^{3} - 8}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + 4 x^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.6

Additionnez $5 x^{4} + 12 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{5} - 3 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{5}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{5}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8.3

Multipliez $5$ par $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + 0}$

Étape 3.11

Additionnez $35 x^{4} - 6 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.1.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $35$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x^{4}}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6}{x^{3}}}$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 5.6

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $35$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Étape 7.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 \cdot 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$\frac{5 + 0}{35 - 6 \cdot 0}$

Étape 9.1.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{35 - 6 \cdot 0}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{5}{35 + 0}$

Étape 9.2.2

Additionnez $35$ et $0$ .

$\frac{5}{35}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $5$ et $35$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (1)}{35}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $35$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7}$